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もの作り、電子工作、コンピュータ一般のページ

何かを作る事が好きなコンピュータおたくです。

もの作りやコンピュータなどで日々の気づきを書いて行こうと思っています。

NeXTSTEP派からMacOSX派へ改宗

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光と嵐

...2011/08/21 17:29...

Nitens lux, horrenda procella, tenebris aeternis involuta.

永遠の闇につつまれた、まばゆい光、恐るべき嵐。

--- Evariste Galois



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パターン

...2011/07/29 00:18...

画家や詩人と同様、数学者とはパターンを作る者である。もしも数学者の作ったパターンが、画家や詩人の作ったパターンより長持ちするとしたら、それは数学者の作ったパターンが概念からできているからである。

-- Godfrey Harold Hardy





フォン・ノイマン曰く

...2011/01/19 21:02...

数学では理解することなんか必要じゃない。使うのに慣れればそれでいいんだ!

             ---- ジョン・フォン・ノイマン





dx と dy の解析学 - 高瀬正仁

...2010/02/20 09:14...



以下のことは史実としては知っていた。
ニュートンやライプニッツの頃、微積分学の萌芽はあったが基礎は確立していなかった。だからこそ、ニュートンは、自身の計算には微積分学を使っていた物のプリンキピアでの証明は、ユークリッド幾何しか用いなかった。ニュートン、ライプニッツの時代には、無限少量という概念があってそれで微積分を行っていたらしい。が、それは数学の基礎としてうまくいかず、コーシーがコーシー列の概念を導入したことによって初めて微積分学の基礎が確立していく。さて、この無限小数の概念が近代になって復活し、超準解析と呼ばれる。

問題はなぜ無限小数という概念が危ういのか?ニュートン、ライプニッツの時代の微積分の計算とは如何なるものだったのか?ということは理解していなかった。「dx と dy の解析学」を読んでやっとこの疑問が氷解した。

割り算をする時にある数をゼロで割ってはいけない。これは代数法則を破壊するから。dx や dy は無限小数であって限りなくゼロに近いものである。そして、ニュートン、ライプニッツの時代には計算の最後にこれをゼロとして扱う。とするならば、途中で行われた代数演算はゼロで割って来たということになってしまい、この計算は正しいとは言えないということになってしまう。この事が微積分の基礎が危ういということに他ならない。

超準解析の世界では、超実数という数が存在することが証明される。これは、今までの実数に無限小数が加わった体系である。

そして、微分は次のように定義される。

http://upload.wikimedia.org/math/2/4/4/244c36c0b82f1116a59bc5454e631988.png

st という操作は、超実数の中から実数を取り出す作業に他ならない。超実数の世界で成り立つ計算をしておいて、そこから実数のみを取り出す。ゼロでは割らず無限小数で割る事は超実数の世界では可能であり、代数法則を壊さない。なるほど。










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